Блог для маленьких школьников и их родителей
ШколаЛа

Исследуйте функцию на монотонность и экстремум а) у=х^3/3-2х^2-5х-6 б)у=2/х-5

Автор:
Предмет: Математика
Уровень: 5 - 9 класс

Исследуйте функцию на монотонность и экстремум

а) у=х^3/3-2х^2-5х-6

б)у=2/х-5

Ответов к вопросу: 1
  • NelliVol26
    03.10.2024 | 18:03

    Пошаговое объяснение:
    Задача а)
    y = 1/3*x³ — 2*x² — 5*x — 6 — функция.
    1) Область определения функции — ООФ — монотонность.
    Непрерывная, гладкая.
    D(x) = (-∞;+∞) — ответ.
    2) Поиск экстремума по первой производной.
    y'(x) = x² — 4*x — 5 = 0 — решаем квадратное уравнение
    x1 = — 1,   x2 = 5 — точки экстремумов.
    3) Локальные экстремумы.
    Ymin(5) = — 39 1/3,    Ymax(-1) = — 3 1/3 — ответ.
    Рисунок с графиком функции — в приложении.
    Задача б)
    Дано: y = 2/(x-5).  
    (Текст решения с излишествами — полное исследование)
    Исследование:

    1. Область определения: D(y)= X≠ -5, X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

    2.Поведение в точке разрыва. LimY(-5-)= -∞, LimY(-5+)= +∞. Вертикальная асимптота — х = -5.  

    Неустранимый разрыв II-го рода.

    3. Поведение на бесконечности — наклонная асимптота.  

    k = lim(+∞)Y(х)/x = 2/(x²—5*х) = 0 — коэффициент наклона.  y = 0 — горизонтальная асимптота.

    4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 — нет.

    5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= -2/-5 = 0,4

    6. Интервалы знакопостоянства.  

    Отрицательна: Y(x)<0 — X∈(-∞;-5). Положительна: Y>0 — X∈(-5;+∞;)

    7. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ — нет симметрии ни осевой ни центральной.  

    Функция общего вида — ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).

    8. Поиск экстремумов по первой производной.    

    y'(x) = — 2/(x-5)² = 0. Корней — нет.

    9. Локальные максимумы  — нет.

    10. Интервалы монотонности.  

    Убывает: X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞) — везде, где существует.

    11. Поиск перегибов по второй производной.  

    y»(x) = 4/(x-5)³ = 0.

    Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

    12. Выпуклая — ‘горка’ — X∈(-∞;-5). Вогнутая — ‘ложка’- X∈(-5;+∞;).

    13. Область значений. E(y) — y∈(-∞;+∞).  

    14. График функции на рисунке в приложении.

Ответить на вопрос:
:p :-p 8) 8-) :lol: =( :( :-( :8 ;) ;-) :(( :o:
Нажимая на кнопку я даю согласие на обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.