Исследуйте функцию на монотонность и экстремум а) у=х^3/3-2х^2-5х-6 б)у=2/х-5

Пошаговое объяснение:
Задача а)
y = 1/3*x³ — 2*x² — 5*x — 6 — функция.
1) Область определения функции — ООФ — монотонность.
Непрерывная, гладкая.
D(x) = (-∞;+∞) — ответ.
2) Поиск экстремума по первой производной.
y'(x) = x² — 4*x — 5 = 0 — решаем квадратное уравнение
x1 = — 1,   x2 = 5 — точки экстремумов.
3) Локальные экстремумы.
Ymin(5) = — 39 1/3,    Ymax(-1) = — 3 1/3 — ответ.
Рисунок с графиком функции — в приложении.
Задача б)
Дано: y = 2/(x-5).  
(Текст решения с излишествами — полное исследование)
Исследование:

1. Область определения: D(y)= X≠ -5, X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(-5-)= -∞, LimY(-5+)= +∞. Вертикальная асимптота — х = -5.  

Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности — наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = 2/(x²—5*х) = 0 — коэффициент наклона.  y = 0 — горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 — нет.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= -2/-5 = 0,4

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 — X∈(-∞;-5). Положительна: Y>0 — X∈(-5;+∞;)

7. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ — нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего вида — ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = — 2/(x-5)² = 0. Корней — нет.

9. Локальные максимумы  — нет.

10. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞) — везде, где существует.

11. Поиск перегибов по второй производной.  

y»(x) = 4/(x-5)³ = 0.

Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

12. Выпуклая — ‘горка’ — X∈(-∞;-5). Вогнутая — ‘ложка’- X∈(-5;+∞;).

13. Область значений. E(y) — y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.