ГЕОМЕТРИЯ, 11 КЛАСС, 56 БАЛЛОВ
В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=4, AD=BC=8, ∠ABC=120∘. Найдите R^2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду.
С простым или хотя-бы поверхностным пояснением, спасибо
Ответы на задачу по ГЕОМЕТРИЯ, 11 КЛАСС, 56 БАЛЛОВ В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=4, AD=BC=8, ∠ABC=120∘. Найдите R^2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду. С простым или хотя-бы поверхностным пояснением, спасибо для школьников 10 - 11 класс. Прочитайте множественные решения и обсудите подходы с участниками. Ответы на этот вопрос уже есть. На нашем сайте вы можете задать свой вопрос и стать частью сообщества экспертов, помогая другим.
Ответ:
R² = 28 ед.
Объяснение:
По теореме косинусов АС² = АВ² + ВС² — 2·АВ·ВС·Cos120.
АС² = 16 + 64 — 2·4·8·(-1/2) = 112. √112 ≈ 10,6 ед.
Ребро АС — большее из всех ребер пирамиды (по теореме о неравенстве треугольника).
Найдем высоту треугольника ADC h.
Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Выразим в обоих треугольниках h по теореме Пифагора и приравняем оба выражения:
AD² — (AC-x)² = DC² — x².
64 — 112 + (2√112)·x — x² = 16 — x². => x ≈ 3.
h ≈ √(16-9) ≈ 2,6 ед. Следовательно, высота нашей пирамиды еще меньше, так как перпендикуляр меньше наклонной из точки D к плоскости основания.
Поэтому минимальный диаметр шара, в который поместится данная пирамида, равен АС, поскольку диаметр — наибольшая из хорд.
AC = D = 2R.
4R² = 112 => R² = 28 ед.