Клеточки доски m*n раскрашены в шахматном порядке в черный и белый цвета. Разрешается выбрать любые соседние по стороне клетки и перекрасить их: белые клетки в черный цвет, а черные – в красный, а красные – в белый. При каких m и n можно добиться того, что все белые ячейки будут окрашены в черный цвет, а черные в белый?
Задача по Клеточки доски m*n раскрашены в шахматном порядке в черный и белый цвета. Разрешается выбрать любые соседние по стороне клетки и перекрасить их: белые клетки в черный цвет, а черные – в красный, а красные – в белый. При каких m и n можно добиться того, что все белые ячейки будут окрашены в черный цвет, а черные в белый? для школьников 5 - 9 класс? Здесь вы найдете ответы на вопрос, обсуждения и полезные рекомендации по предмету Математика. Ответы на этот вопрос уже добавлены. Присоединяйтесь к нашему сообществу, задавайте вопросы и становитесь экспертом!
Відповідь:
Для того чтобы все белые клетки стали черными, а черные клетки — белыми, необходимо выполнить следующее условие: количество черных клеток и количество белых клеток должно быть четным числом.
Обоснуем это правило:
При перекрашивании двух соседних клеток, их цвет меняется на противоположный. Таким образом, каждая операция перекрашивания меняет четность количества черных и белых клеток.
Поскольку доска раскрашена в шахматном порядке, количество черных и белых клеток изначально различается. Если количество черных и белых клеток различается на нечетное число, то невозможно сделать обе группы клеток четными одновременно. Таким образом, не будет возможности перекрасить все белые клетки в черный цвет, а черные в белый.
Теперь рассмотрим два случая:
1. Если и m и n — четные числа:
В этом случае на доске m * n будет равное количество черных и белых клеток. Изначально количество черных и белых клеток одинаково и четно, а поскольку мы можем менять цвета клеток, это не изменится. Поэтому, в этом случае, мы можем добиться желаемого результата.
2. Если хотя бы одно из чисел m или n — нечетное:
В этом случае, количество черных и белых клеток на доске не будет равным, поскольку допустим только один вариант непарного числа: (нечетное число + четное число = нечетное число). Следовательно, в этом случае, мы не сможем добиться желаемого результата.
Итак, мы можем добиться того, что все белые клетки станут черными, а черные — белыми, только если оба m и n являются четными числами.