Обчислити значення похідної складної функції z = z (x, y), де x = x(t), y = y(t) при t = t0 з точністю до двох знаків…

Відповідь:Щоб обчислити похідну складної функції
�
=
�
(
�
,
�
)
z=z(x,y) за змінною
�
t, необхідно використати правило ланцюгового диференціювання. Запишемо функцію
�
z та змінні
�
x та
�
y як функції
�
t:

�
=
�
�
−
�
�
z=xy−yx
�
=
sin
⁡
2
(
2
�
)
x=sin
2
(2t)
�
=
tan
⁡
2
(
�
)
y=tan
2
(t)

Знайдемо часткові похідні
�
z за
�
x та за
�
y:

∂
�
∂
�
=
�
−
�
′
�
−
�
�
′
∂x
∂z
​
=y−y
′
x−xy
′

∂
�
∂
�
=
�
−
�
′
�
−
�
�
′
∂y
∂z
​
=x−x
′
y−yx
′

Для цього спочатку потрібно знайти похідні
�
x та
�
y за
�
t.

�
′
=
�
�
�
sin
⁡
2
(
2
�
)
=
2
sin
⁡
(
2
�
)
cos
⁡
(
2
�
)
⋅
2
=
4
sin
⁡
(
2
�
)
cos
⁡
(
2
�
)
x
′
=
dt
d
​
sin
2
(2t)=2sin(2t)cos(2t)⋅2=4sin(2t)cos(2t)
�
′
=
�
�
�
tan
⁡
2
(
�
)
=
2
tan
⁡
(
�
)
sec
⁡
2
(
�
)
y
′
=
dt
d
​
tan
2
(t)=2tan(t)sec
2
(t)

Тепер, знаючи значення
�
′
x
′
 та
�
′
y
′
 при
�
=
�
4
t=
4
π
​
, ми можемо обчислити часткові похідні:

�
′
(
�
4
)
=
4
sin
⁡
(
�
2
)
cos
⁡
(
�
2
)
=
4
⋅
1
⋅
0
=
0
x
′
(
4
π
​
)=4sin(
2
π
​
)cos(
2
π
​
)=4⋅1⋅0=0
�
′
(
�
4
)
=
2
tan
⁡
(
�
4
)
sec
⁡
2
(
�
4
)
=
2
⋅
1
⋅
2
2
=
4
y
′
(
4
π
​
)=2tan(
4
π
​
)sec
2
(
4
π
​
)=2⋅1⋅2
2
=4

Тепер знайдемо значення
�
x та
�
y при
�
=
�
4
t=
4
π
​
:

�
(
�
4
)
=
sin
⁡
2
(
�
2
)
=
1
x(
4
π
​
)=sin
2
(
2
π
​
)=1
�
(
�
4
)
=
tan
⁡
2
(
�
4
)
=
1
y(
4
π
​
)=tan
2
(
4
π
​
)=1

Підставимо значення
�
′
x
′
,
�
′
y
′
,
�
x та
�
y в часткові похідні:

∂
�
∂
�
=
�
−
�
′
�
−
�
�
′
=
1
−
4
⋅
1
⋅
0
−
1
⋅
4
=
1
−
0
−
4
=
−
3
∂x
∂z
​
=y−y
′
x−xy
′
=1−4⋅1⋅0−1⋅4=1−0−4=−3
∂
�
∂
�
=
�
−
�
′
�
−
�
�
′
=
1
−
0
⋅
1
−
1
⋅
4
=
1
−
0
−
4
=
−
3
∂y
∂z
​
=x−x
′
y−yx
′
=1−0⋅1−1⋅4=1−0−4=−3

Таким чином, похідна складної функції
�
z за
�
t при
�
=
�
4
t=
4
π
​
 дорівнює
−
3
−3.

Покрокове пояснення: