09
НоябрьСторона основания правильной треугольной пирамиды равна 240 см, боковое ребро с плоскостью основания…
Предмет: Геометрия
Уровень: 10 - 11 класс
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 240 см, боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30°.
Вычисли высоту пирамиды.
Ответ: высота пирамиды равна . см.
Ответ:
Высота пирамиды SO = 7√3 см.
Площадь боковой поверхности Sб = 784 см².
Объяснение:
Дана пирамида SABCD, в основании — ромб со стороной 28см и углом ∠А = 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом 60° => вершина S проецируется в центр основания O (пересечение диагоналей ромба).
Площадь основания (ромба) равна:
S = a²·SinA = 28²·(1/2) = 392 см².
Проведем высоту ромба GH через точку О.
GH = S/a, где S — площадь ромба, а — его сторона.
GH = 392/28 = 14 см.
ОН = GH/2 = 7 см.
В прямоугольном треугольнике SOH ∠SHO = 60°.
Тогда ∠ОSH = 30° по сумме острых углов. Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит гипотенуза SH = 2·OH = 14 см.
По Пифагору SO = √(SH²-OH²) = √(14²-7²) = √(21·7) = 7√3 см.
SH — это высота боковой грани DSC (по теореме о трех перпендикулярах — ОН⊥DC => SH⊥DC). Тогда площадь одной грани пирамиды (треугольника DSC) равна
Sг = (1/2)·SH·DC =(1/2)·14·28 = 196 см². Таких граней 4, значит площадь боковой поверхности пирамиды равна Sб = 4·196 = 784 см².
Или так: площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра на высоту грани, то есть Sб = 28·2·14 = 784 см².