Существует ли такое иррациональное число «а», при котором числа «а^2+a» и «a^3-2a» будут рациональными?…

Ответ: Да . Например :
a= (√5-1)/2
a= (-√5-1)/2
Пошаговое объяснение:
Предположим ,  что числа
а^2+a  и  a^3-2a  являются рациональными ,  но тогда отношение этих чисел так же является рациональным числом .
Преобразуем это отношение :
(a^3-2a)/(a^2+a)  =  ( a*(a^2-2) )/( a*(a+1) ) =
= (a^2-2)/(a+1) = (a^2-1)/(a+1)   -1/(a+1)=
=(a-1)*(a+1)/(a+1)    -1/(a+1)  =  a-1 —  1/(a+1)  =  (a+1)  -1/(a+1) -2
(a+1)  — 1/(a+1) -2 — рациональное число .
Поскольку 2 — рациональное число ,  то  
(a+1) — 1/(a+1) — рациональное число .
Пусть :  (a+1) — 1/(a+1) = R — рациональное число.
Решим  уравнение относительно иррационального  числа  a+1 =t :
t-1/t =R
t^2-R*t-1=0
D = R^2 +4 >0 при  любом  рациональном числе R
t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2
Поскольку  по  условию t= a+1 — иррационально ,  тк  a- иррационально.
То R^2+4 — не является квадратом рационального числа.
По  условию :   число  а^2+a — рационально
a^2+a =a*(a+1) = (t-1)*t =t^2-t
t^2 = ( (R +-√(R^2+4) ) /2 )^2 = (R^2 +-2*R*√(R^2+4) +R^2+4)/4 =
= (2*R^2 +4 +-2*R*√(R^2+4) )/4 = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2
t^2-t = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2  — (R +-√(R^2+4) ) /2 =  
=(R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2
Число : R^2-R+2  — рационально в силу рациональности R . Точно так же как и число  R-1 .  
Но  тогда ,  выходит    что (R-1)*√(R^2+4)  — рациональное число
Это может быть только в двух случаях.
1)  R^2+4  является  квадратом рационального числа , но  как  было написано выше это невозможно.
2) Тогда остается единственный вариант , а именно,  занулить  это выражение ,  то есть когда  R=1.
В этом случае :  (R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2 =  (R^2-R+2)/2 =  1 — рациональное число.
Поскольку отношение чисел :
(a^3-2a)/(a^2+a) = R-2 =-1 — рационально и
a^2+a = 1
То  a^3 -2a = -1 — рационально.
Подставим  R=1  в значение  для
t=a+1
t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2 = (1+-√5)/2
a = (1+-√5)/2 -1  = (-1+-√5)/2 — иррациональное число.
Таким образом ,  такие  a существуют и их ровно два :
a1= (√5-1)/2
a2= (-√5-1)/2