29
ИюньНа стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) отмечена точка D. На отрезке BD отмечена…
Предмет: Математика
Уровень: 5 - 9 класс
На стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) отмечена точка D. На отрезке BD отмечена точка E так, что BE=AD. Оказалось, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и DE пересекаются на отрезке BC. Найдите длину отрезка BD, если известно, что AD=10, DC=7.
Ответ:
ВС = 15 смПошаговое объяснение:
На стороне AD прямоугольника ABCD отмечена точка E. На отрезке EC нашлась такая точка M, что AB=BM, AE=EM. Найдите длину стороны BC, если известно, что ED=12, CD=9
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ЕСD(∠D=90°).
По теореме Пифагора найдём гипотенузу ЕС:
ЕС²=ЕD²+СD²=12²+9²=144+81=225
ЕС=15 см
2. Проведём отрезок ВЕ и рассмотрим ΔАВЕ и ΔМВЕ.
У них:
АВ=ВМ, АЕ=ЕМ — по условиюВЕ — общая.Следовательно ΔАВЕ = ΔМВЕ по трём сторонам (3 признак равенства треугольников).
3. Обозначим ∠АВМ как угол α.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:
∠ВМЕ=ВАЕ=90°,
∠АВЕ=∠МВЕ=∠АВМ:2= α/2,
∠АЕВ=∠МЕВ=90°-∠АВЕ= 90°-α/2 (по теореме о сумме углов прямоугольного треугольника).
Тогда ∠СЕD=180°-∠АЕВ-∠МЕВ=180°-2(90°-α/2)=180°-180°+α=α
∠ВСЕ=∠СЕD=α (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АD и секущей ЕС)
4. Рассмотрим ΔВСЕ
∠ВСЕ=α, ∠СЕВ=∠МЕВ=90°-α/2
По теореме о сумме углов треугольника:
∠СВЕ = 180°-∠ВСЕ-∠СЕВ=180°-α-(90°-α/2)= 90°-α/2
Итак, ∠СВЕ=∠СЕВ= 90°-α/2, ⇒ΔВСЕ — равнобедренный с основой ВЕ.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно:
ВС=ЕС= 15 (см)