24
ИюньДоведіть нерівність якщо m довільне число (m-3) (m+5)>m (m+2) — 17
Предмет: Алгебра
Уровень: 5 - 9 класс
доведіть нерівність якщо m довільне число
(m-3) (m+5)>m (m+2) — 17
05
ДекабрьДоведіть, що при всіх дійсних значеннях m і n виконується нерівність: m^2+n^2+4≥mn+2m+2n
Предмет: Алгебра
Уровень: студенческий
Доведіть, що при всіх дійсних значеннях m і n виконується нерівність: m^2+n^2+4≥mn+2m+2n
Ответов к вопросу: 1
Вам так же может быть интересно:
Задача по Доведіть, що при всіх дійсних значеннях m і n виконується нерівність: m^2+n^2+4≥mn+2m+2n для школьников студенческий. Узнайте решение и получите подробное объяснение по теме Алгебра. Ответы на этот вопрос уже опубликованы. Не забывайте, что вы можете задать вопрос или поделиться собственным решением, став экспертом для других!
Ответ:
Нерівність, яку потрібно довести, має наступний вигляд:
m^2 + n^2 + 4 > mn + 2m + 2n
Можна переписати її у вигляді:
m^2 — mn + n^2 + 2m + 2n + 4 >= 0
Розглянемо ліву частину цієї нерівності як квадратичний тричлен відносно змінних m та n:
f(m, n) = m^2 — mn + n^2 + 2m + 2n + 4
Щоб довести, що нерівність справджується для будь-яких дійсних значень m та n, потрібно довести, що f(m, n) >= 0 для будь-яких m та n.
Для цього можна скористатися методом завершення квадрату. Додамо та віднімемо вираз (m+n)^2 у першому члені квадратичного тричлена:
f(m, n) = m^2 — mn + n^2 + 2(m+n)^2 — (m+n)^2 + 4
= (m+n)^2 + (m^2 — 2mn + n^2) + 4
= (m+n)^2 + (m-n)^2 + 4
Отже, маємо:
f(m, n) = (m+n)^2 + (m-n)^2 + 4 >= 0
Це нерівність завжди справджується, оскільки квадрати будь-яких дійсних чисел не можуть бути від’ємними. Тому, вихідна нерівність також справджується для будь-яких дійсних значень m та n.