Установити відповідність між арифметичними прогресіями, заданими двома членами та сумами 10 їх перших…

Для установлення відповідності між арифметичними прогресіями, заданими двома членами та сумами 10 їх перших членів, ми можемо скористатися формулами для знаходження членів арифметичної прогресії і суми перших n членів.

Арифметична прогресія задається формулою:
an = a1 + (n — 1)d,

де an — n-й член прогресії,
a1 — перший член прогресії,
d — різниця прогресії.

Формула для суми перших n членів арифметичної прогресії:
Sn = (n/2)(a1 + an).

Дано:
a1 = 12,
a2 = 15.

Для першої арифметичної прогресії:
a1 = 12,
a2 = 15.

Підставимо ці значення в формулу різниці прогресії:
15 = 12 + (2 — 1)d.

Розв’яжемо це рівняння відносно d:
15 = 12 + d,
d = 15 — 12,
d = 3.

Тепер ми знаємо різницю прогресії d для першої арифметичної прогресії.

Для другої арифметичної прогресії:
a1 = 12,
Sn = 10.

Підставимо ці значення в формулу суми перших n членів:
10 = (n/2)(12 + (12 + (n — 1)3)).

Розв’яжемо це рівняння відносно n. Упростимо його:
10 = (n/2)(24 + 3n — 3),
10 = (n/2)(21 + 3n).

Розкриємо дужки та спростимо:
10 = (21n + 3n^2) / 2.

Перепишемо рівняння у квадратній формі:
3n^2 + 21n — 20 = 0.

Розв’яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:
n = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a,

де a = 3, b = 21, c = -20.

n = (-21 ± √(21^2 — 4 * 3 * (-20))) / (2 * 3).

n = (-21 ± √(441 + 240)) / 6.

n = (-21 ± √681) / 6.

Отже, ми отримали два розв’язки: n1 і n2.

Таким чином, відповідність між арифметичними прогресіями, заданими двома членами та сумами 10 їх перших членів, буде наступною:
Для першої прогресії: a1 = 12, a2 = 15, d = 3.
Для другої прогресії: a1 = 12, Sn = 10, n1 і n2 — розв’язки рівняння 3n^2 + 21n — 20 = 0.