При подводных работах раньше применялся так называемый кессон("подводный колокол") - резервуар, в который по шлангу…

Дано:

H = 20 м
L = 2 м
p0 = 10⁵ Па
υ = 1 м³/мин
ρ = 1,29 кг/м³
ρ_в = 1000 кг/м³
M = 0,029 кг/моль
R = 8,31 Дж/(моль*К)
Т = 0 °С = 273 К
g = 10 H/кг
t — ?

Решение:

Очевидно, что давление, которое оказывает на воду закачанный в кессон воздух, должно быть равным тому давлению, которое оказывает на воздух вода на глубине Η. Это давление равно сумме гидростатического и атмосферного:

р = ρ_в*gH + p0

Над водой давление воздуха равно атмосферному. Компрессор берёт именно этот воздух. А т.к. давление атмосферы меньше требуемого, то и плотность воздуха над водой меньше. Это вытекает из уравнения состояния газа:

рV = (m/M)RT — представим массу как произведение плотности и объёма:

pV = (ρV/M)RT | : V
p = ρ*(RT/M) — давление прямо пропорционально плотности

Значит, плотность воздуха в кессоне должна быть больше, чем плотность воздуха над водой. Ну а если плотность должна быть больше, то больше должна быть и масса. Считаем, что воздух над водой, при закачке в кессон и после находится при температуре 0 °С (273 К). Выразим плотность воздуха ρ’, который заполняет кессон так, что вода оказывает на воздух давление на глубине Н:

р = ρ’*(RT/M)
p = ρ_в*gH + p0 =>
=> ρ’*(RT/M) = ρ_в*gH + p0 =>
=> ρ’ = (ρ_в*gH + p0)/(RT/M)

ρ’ = (ρ_в*gH + p0)*(М/(RT))

Теперь домножим на объём кессона и получим массу:

V = L³
m = ρ’*V = ρ’*L³ = (ρ_в*gH + p0)*(L³М/(RT))

Эта масса гораздо больше той, которую имеет воздух плотностью 1,29 кг/м³ в объёме кессона. А компрессор, вспомним, качает воздух именно такой плотности. Поэтому агрегат должен переместить куда больше кубометров, чем кажется на первый взгляд. А именно:

V’ = m/ρ = (ρ_в*gH + p0)*(L³М/(ρRT))

Полностью заполненный объём кессона равен произведению скорости компрессора и времени:

V’ = υ*t, тогда затраченное время равно:

t = V’/υ = [(ρ_в*gH + p0)*(L³М/(ρRT))] / υ = [(1000*10*20 + 10⁵)*(2³*0,029/(1,29*8,31*273))] / 1 = 23,78. = 24 минуты

Нужный объём почти в 3 раза больше, чем объём самого кессона. Скорость и время пропорциональны объёму. Т.к. скорость является константой, то при увеличении объёма почти в 3 раза время увеличивается соответствующе — почти в 3 раза. Всё это исходит из того, что плотность воздуха в кессоне при нужном давлении примерно в 3 раза больше плотности атмосферного:

ρ’ = (ρ_в*gH + p0)*(М/(RT)) = (1000*10*20 + 10⁵)*(0,029/(8,31*273)) = 3,83. = 3,8 кг/м³

ρ’/ρ = 3,8/1,29 = 2,94. = 3

Ответ: примерно 24 минуты.