Отдам 100 баллов, если кто то сможет решить. Помогите пж Найти приближенное значение функции:

Ответ:

Вариант 1. Найдем приближенное значение функции у = √(1+0,02) с двумя знаками после запятой.

Оценим подкоренное выражение 1,02 сначала в целых числах. Так как 1 < 1,02 < 4, то √1 < √1,02 < √4 или 1 < √1,02 < 2. Поэтому десятичная запись числа √1,02 начинается с цифры 1, т. е. √1,02 ≈ 1.

Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3… до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 1,02. Имеем 1,12 = 1,21; Так как 1 < 1,01 < 1,1 или 12 < 1,02 < 1,12, то 1 < √1,02 < 1,1. Значит, √1,02 ≈ 1,1.

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,01; 1,02,  вновь оценивая подкоренное выражение 1,02. Имеем: 1,01² = 1,0201, что больше, чем 1,02, но очень близко к этому значению, √1,02 ≈ 1,01.

Аналогично проверяем значение подкоренного выражения при значении корня 1,0099. Имеем: 1,0099² = 1,0199, что меньше, чем 1,02, но очень близко к этому значению, поэтому с точностью до двух знаков √1,02 ≈ 1,01.

Если нужна большая точность, то надо проделать аналогичные вычисления при значениях корня в промежутке 1,0099 и 1,01.

С точностью до пятого знака получаем корень, равный 1,00995.

Вариант 2.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а² +b, где а² ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и пользовались формулой :

√(a² + b) ≈ a + (b/2a).

Получим √(1² + 0,02) ≈ 1 + (0,02/2*1) = 1,01.

Вариант 3.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа √x (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа √x найдется по формуле

a_2=1/2 (a_1+x/a_1 ).

Третье, еще более точное приближение a_3=1/2 (a_2+x/a_2 ) и так далее.

(n+1)-е приближение √x найдется по формуле a_(n+1)=1/2 (a_n+x/a_n ).

 
Нахождение приближенного значения числа√1,02 методом Ньютона дает следующие результаты: а1=1; а2= 1,01; а3=1,00995.

Вариант 4.

С использованием формулы для приближенного вычисления с помощью  дифференциала:

f(xo+∆x)=f(xo)+d[f(xo)]

На первом этапе необходимо составить функцию f(xo)   . По условию предложено вычислить корень из числа: √1,02 , поэтому соответствующая функция имеет вид:f(x)=√x . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение f(1,02)=√1,02 .

В качестве xo  подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение xo  должно быть как можно ближе к 1.02. В данном случае:  xo =1. Действительно:  √1=1.

Если xo =1  , то приращение аргумента:  ∆x=0,02.

Итак, число 1,02 представлено в виде суммы xo+∆x=1+0,02.

Далее работаем с правой частью формулы

f(xo+∆x)=f(xo)+d[f(xo)] .

Сначала вычислим значение функции в точке xo =1. Собственно, это уже сделано ранее: f(xo)=f(1)=√1=1  
Дифференциал в точке находится по формуле: d[f(xo)]=f^’ (xo)*∆x.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

f’ (x)=(√x)’=(x^(1/2) )^’=1/2 x^(-1/2)=1/(2√x)

И найти её значение в точке xo:

f^’ (xo)=f^’ (1)=1/(2√1)=1/2.

Таким образом: d[f(1)]=f^’ (1)*∆x=1/2*0,02=0,01

Согласно формуле получаем значение f(1,02) = 1+0,01 = 1,01.

Найденное приближенное значение достаточно близко к более точному значению 1,00995.