1. На одній прямій 11 точок, а на другій 14. Скількома способами можна скласти чотирикутники з вершинами у цих точках?
2. В бригаді 20 робітників, серед яких 6 штукатурів. Скількома способами можна скласти групу з 5 робітників, в якій хоча б один штукатур?
3. Студент вивчив 21 питання з 25. Екзаменатор задає 2 питання. Знайти ймовірність того, що студент відповість на обидва.
4. Автомобіль проїхав 6 годин з швидкістю 75 км/год та 4 години з швидкістю 95 км/год. Знайти середню швидкість автомобіля.
5. Периметр рівнобедреного трикутника 32 см, а висота, опущена на основу – 8 см. Знайти основу трикутника.
6. Сторони трикутника дорівнюють 13 см., 14 см. та 15 см. Знайти висоту, проведену до найбільшої сторони.
7. Бічні сторони прямокутної трапеції відносяться, як 4 : 5, а різниця основ дорівнює 18 см. Знайти основи трапеції, якщо її більша діагональ дорівнює 40 см.
1. Діагональ грані куба дорівнює 6 см. Знайти площу його повної поверхні.
2. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 12 см та 5 см. Знайти площу її повної поверхні, якщо діагональ грані, яка містить менший катет, нахилена до основи під кутом 60 градусів.
3. Основа піраміди – прямокутник з сторонами 6 см та 8 см. Знайти площу її бічної поверхні, якщо висота піраміди дорівнює 4 см, а бічні ребра рівні.
4. Усі ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 8 см. Знайти її об’єм.
5. Довжину кожної сторони трикутної призми зменшили на 40%. На скільки відсотків при цьому зменшилися площа її поверхні та об’єм?
Ми можемо використовувати косинус закон для обчислення кута між бічною гранню і основою піраміди. В цьому випадку, ми знаємо довжини всіх трьох сторін трикутника, і нам потрібно знайти кут «α» між бічною гранню і стороною 6 см, яку ми позначимо як «a.»
Спочатку знайдемо кут «α» за допомогою косинуса:
(cos(α) = frac{a^2 + b^2 — c^2}{2ab}),
де:
— (a = 6) см (сторона трикутника, з якою ми порівнюємо кут),
— (b = 25) см (інша бічна сторона трикутника),
— (c = 29) см (основа піраміди).
Підставимо значення:
(cos(α) = frac{6^2 + 25^2 — 29^2}{2 cdot 6 cdot 25} = frac{36 + 625 — 841}{300} = frac{-180}{300} = -frac{3}{5}).
Тепер знайдемо кут «α» за допомогою оберненого косинуса:
(α = arccosleft(-frac{3}{5}right)).
Використовуючи калькулятор, ми отримуємо:
(α ≈ 126.87^circ).
Отже, бічні грані утворюють кут приблизно 126.87 градусів з основою піраміди.