14
Сентябрь1. В прямоугольном треугольнике ABC угол C= 90°, гипотенуза с равна 9/2 корень cm, а катет а равен 9…
Предмет: Геометрия
Уровень: 5 - 9 класс
1. В прямоугольном треугольнике ABC угол C= 90°, гипотенуза с равна
9/2 корень cm, а катет а равен 9 cm. Найдите катет b, острые углы а и В.
Решите задачу двумя способами.
Ответ:
Решение:
Пусть средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна $x$. Тогда, согласно теореме Пифагора,
«`
AC^2 = x^2 + BC^2
«`
«`
BC^2 = AC^2 — x^2
«`
Также, известно, что $AC = ABsin A = ABsin 30^circ = frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:
«`
BC^2 = left(frac{AB}{2}right)^2 — x^2
«`
«`
BC^2 = frac{AB^2}{4} — x^2
«`
Также известно, что $AB = BCsqrt{3}$, поэтому
«`
BC^2 = frac{BC^2cdot 3}{4} — x^2
«`
«`
3BC^2 = BC^2 — 4x^2
«`
«`
4x^2 = 2BC^2
«`
«`
x^2 = frac{1}{2}BC^2
«`
«`
x = sqrt{frac{1}{2}BC^2}
«`
«`
x = frac{BC}{sqrt{2}}
«`
Так как $x = 8$, то
«`
BC = 8sqrt{2}
«`
Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна $8sqrt{2}$ дм**.
Альтернативное решение:
Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда, согласно теореме Пифагора,
«`
AM^2 = CM^2 + BM^2
«`
«`
8^2 = CM^2 + BM^2
«`
Также, известно, что $AM = frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:
«`
64 = CM^2 + BM^2
«`
Так как $CM + BM = BC$, то $CM^2 + BM^2 = BC^2$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:
«`
BC^2 = 64
«`
«`
BC = 8sqrt{2}
«`
Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна 8√2дм