В остроугольном треугольнике АBC проведены высоты BD и СЕ, из вершин В и С на прямую ЕD опущены перпендикуляры…

Ответ:
2  ////////////////////
Объяснение:

См. чертеж.
Построенные окружности «демонстрируют» скрытые связи, которые есть в конструкции. Если их мысленно убрать, получится построение из условия задачи.
Так как EC перпендикулярно AB, точка Е лежит на окружности. построенной на BC, как на диаметре, и центром этой окружности будет середина BC — точка O. Точно также — точка D. Аналогично, L — середина BE, H — середина CD.
Первое. Я собираюсь доказать, что FE = DG; но делать я это буду «через Китай». Пусть точка K — середина ED. Если удастся доказать, что K лежит на радикальной оси окружностей (BFE) и (DGC), то из этого автоматически будет следовать FE = DG
Про радикальную ось этих окружностей известно две вещи. Во-первых, она перпендикулярна линии центров LH; во-вторых, она проходит через точку A, поскольку точка A — радикальный центр всех трех окружностей, изображенных на чертеже. В самом деле, AB и AC — радикальные оси пар окружностей (BFE) (BCED) и (DGC) (BCDE), а значит, их общая точка имеет равные степени относительно (BFE) и (DGC) (я повторил доказательство теоремы о радикальном центре).
Таким образом, задача свелась к тому, что надо доказать перпендикулярность AK и LH.
Треугольники ADE и ABC подобны, => AO и AK — соответствующие медианы в подобных треугольниках (я пока не знаю, понадобится ли это для решения).
Четырехугольник KHOL — параллелограмм Вариньона для четырехугольника BEDC; его стороны параллельны BD и CE и равны их половинам. => ∠KHO = ∠BAC; (стороны этих углов взаимно перпендикулярны)  кроме того, KH = CE/2 = AC*sin(A)/2; HO = BD/2 = AB*sin(A)/2; то есть треугольники ABC и KHO подобны с коэффициентом sin(A)/2; => треугольник KHO подобен треугольнику EAD, Стороны их одинаково ориентированы (см чертеж, например, ясно, что при повороте на «минус» 90°, то есть по часовой стрелке, и каком-то сдвиге и сжатии, соответствующие стороны переходят друг в друга, EA -> KH; AD -> HO;) => существует поворотная гомотетия, переводящая EAD -> KHO, при этом угол поворота равен 90°, поскольку стороны взаимно перпендикулярны. Ясно, что при этом AK -> HP (Р — точка пересечения диагоналей параллелограмма KHOL, и => середина KO и HL); поэтому AK перпендикулярно HP чтд.
Итак, K лежит на радикальной оси окружностей (BFE) и (DGC), и поскольку KE = KD, EF = DG; (в переводе на «человеческий» язык это означает вот что — у точки K — середины DE, — равны степени относительно этих окружностей, то есть KG*KD = KF*KE; поскольку KE = KD, KF = KG; => EF = DG;)
по условию FG = 7; DE = 3; => EF = DG = 2;