У Мистера Фокса есть 2031 монета. За одно взвешивание он может узнать суммарный вес любых двух монет….

1) За 1017 взвешиваний Мистер Фокс сможет гарантированно узнать суммарный вес всех монет.Он, к примеру, сначала взвесит 1014 «не пересекающихся» пар монет. И узнает их суммарный вес.
Останется еще 3 монеты (по причине того, что  2031 — 1014 · 2 = 3). Первая будет взвешена по очереди со второй и с третьей, а дальше на весах появятся вторая и третья монета.
Результатом таких взвешиваний будут три числа. Если мы их сложим, то получим удвоенный вес первой, второй и третьей монет. Если разделим на два, то получим вес всех трех оставшихся монет.
И прибавим его к весу взвешенных ранее 1014 пар монет. Получим суммарный вес всех монет.
2) Меньше, чем за 1017 взвешиваний, в общем случае суммарный вес монет не удастся узнать.Почему? Очевидно, что при взвешиваниях каждая монета должна побывать на весах. Поэтому взвешиваний должно быть уже не меньше 1016 (2031 : 2 = 1015 пар монет, и 1 в остатке дает 1016-ое взвешивание).
Несложно понять, что если нам удалось за 1016 (или меньше) взвешиваний узнать суммарный вес монет, то: 1) все монеты побывали на весах; 2) ровно одна монета (обозначим ее буквой М) побывала на весах два раза, во второй раз — с монетой Л, образовавшейся в результате остатка при делении на 2 числа 2031.
Суммарный вес всех монет, кроме М нам известен. Следовательно, задача решится, если мы найдем Л. А чтобы найти Л, нужно найти М. Но М как из первого взвешивания, так и из второго найти нельзя.
Можно сказать, что получается что-то наподобие системы из двух линейных уравнений с тремя неизвестными (X + M = a, M + L = b).
Таким образом, за 1016 (и меньше) взвешиваний узнать суммарный вес всех монет не удастся. А за 1017 — уже получится.