Цифровой Интересный Кроссворд #2. (развивает арифметику) уровень до 6-классов.

Можно заметить, что среди последних цифр всех чисел все цифры различны и их в точности девять, причем среди них нет только . Какой остаток при делении на десять дает сумма всех последних цифр? С одной стороны, поскольку в сумме в каждом столбце остаток равен (поскольку сумма равна ), то сумма всех последних цифр дает остаток или все равно, что остаток . С другой стороны, поскольку отсутствует только , остаток равен . Поэтому (тогда остаток , или все равно, что , как и нужно).
Рассмотрим первую строку. Допустим, что . Но тогда сумма всех чисел на первой строке не меньше (первое число — от , второе — от суммы , а число — из разряда десятков числа ). Итак, .
Покажем, что невозможно. В самом деле, из той же первой строчки следует, что , откуда , откуда (поскольку ) следует, что . Пусть , тогда и , а поскольку , то (и, следовательно, , поскольку ). Но тогда возникает проблема с последней строкой: . Следовательно, , но тогда , откуда , откуда , противоречие. Итак, .
Тут вариантов немного: либо это , либо (в каком-то порядке). Рассмотрим случай . Тогда из первой строки имеем , откуда . Смотрим на второй столбец: остаток суммы при делении на десять должен быть шесть, а сумма последних цифр равна , потому . Посмотрим на последний столбец: остаток суммы тоже , а с другой стороны он равен остатку , откуда . Поскольку четверка и двойка заняты, остается лишь и . Положим . Из второй строки снова из соображений остатков восстанавливается и потому (оставшееся число).
Получили кандидатов . Это дает таблицу . Вроде подходит.