Знайтіть тридцятий член та суму перших 30-ти членів арифметичноï прогресії, якщо її пятий член дорівнює…

Відповідь:
Для знаходження тридцятого члена арифметичної прогресії (АП) потрібно використовувати формулу загального члена АП:

a_n = a_1 + (n — 1) * d,

де a_n — n-тий член прогресії,
a_1 — перший член прогресії,
n — номер члена прогресії,
d — різниця (крок) між сусідніми членами прогресії.

Відомо, що п’ятий член дорівнює 9, тому можемо записати:
a_5 = a_1 + (5 — 1) * d = 9.

Так само, відомо, що сьомий член дорівнює 13:
a_7 = a_1 + (7 — 1) * d = 13.

З системи рівнянь можна визначити значення a_1 та d. Віднімемо друге рівняння від першого:

a_5 — a_7 = a_1 + (5 — 1) * d — (a_1 + (7 — 1) * d)
9 — 13 = a_1 + 4d — (a_1 + 6d)
-4 = -2d
d = 2.

Тепер можна підставити значення d в одне з рівнянь, наприклад, в перше:

a_5 = a_1 + (5 — 1) * 2
9 = a_1 + 8
a_1 = 9 — 8
a_1 = 1.

Таким чином, перший член прогресії a_1 дорівнює 1, а різниця d становить 2.

Тепер можемо знайти тридцятий член прогресії:

a_30 = a_1 + (30 — 1) * 2
= 1 + 29 * 2
= 1 + 58
= 59.

Тридцятий член прогресії дорівнює 59.

Тепер розрахуємо суму перших 30 членів прогресії. Для цього використаємо формулу суми перших n членів АП:

S_n = (n / 2) * (2a_1 + (n — 1) * d),

де S_n — сума перших n членів прогресії.

Підставимо відомі значення:

S_30 = (30 / 2) * (2 * 1 + (30 — 1) * 2)
= 15 * (2 + 29 * 2)
= 15 * (2 + 58)
= 15 * 60
= 900.

Сума перших 30 членів прогресії дорівнює 900.
Пояснення: