Блог для маленьких школьников и их родителей
ШколаЛа

Исследовать на сходимость рекуррентную последовательность a_{n+ 1} = 1 + 1/(1 + a_n) a_1 = 1 в предыдущих…

Автор:
Предмет: Математика
Уровень: студенческий

Исследовать на сходимость рекуррентную последовательность

a_{n+ 1} = 1 + 1/(1 + a_n)
a_1 = 1

в предыдущих заданиях я проверял на монотонность(возрастает или убывает) и ограниченность(сверху или снизу)

Ответов к вопросу: 1
  • Shakhina0616
    29.05.2024 | 14:47

    Интересная задача.
    Мы видим, что монотонности здесь нет, но есть надежда на отдельную монотонность подпоследовательностей с четными и нечетными номерами.
    Но сначала, предположив наличие предела A последовательности, найдем его, перейдя к пределу в рекуррентном соотношении:
    (отрицательное решение отбрасываем благодаря положительности членов последовательности).
    Кстати. раз уж общей монотонности нет, может стоит доказать монотонное убывание расстояния от членов последовательности до предполагаемого предела? Даже не то важно, чтобы это расстояние монотонно убывало, как то, чтобы оно стремилось к нулю со стремлением  n к бесконечности. Проверяем:

    Это доказывает требуемое. Если сомнения у кого-нибудь остались, можете продолжить цепочку, написав

    откуда  при  

    Ответ: последовательность сходится, и ее предел равен корню из двух.

Ответить на вопрос:
:p :-p 8) 8-) :lol: =( :( :-( :8 ;) ;-) :(( :o:
Нажимая на кнопку я даю согласие на обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.