Найдитн наименьшее значение функции y=x-ln(x+6)+3

Для нахождения экстремумов (в т.ч. минимумов), нужно взять производную, приравнять её нулю и решить. Полученные значения проверить на максимум и минимум.

y=x-ln(x+6)+3
Область допустимых значений x >-6

y’=(x-ln(x+6)+3)’=1- frac{1}{x+6} =0 \ \ frac{1}{x+6} =1 \ \ x+6=1 \ \ x=-5

Имеем одно экстремальное значение х = -5. Если производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс, то это минимум. Для практической проверки следует подставить в выражение производной значение икс несколько меньше (-5) и несколько больше (-5). Обычно следует выбирать такие значение, чтобы легче считалось.

Слева, или меньше (-5) выбираем х = -5,5 (в данном случае нельзя брать меньше минус 6, т.к. выйдем из ОДЗ).
y'(-5,5) = 1- frac{1}{-5,5+6} =1- frac{1}{0,5} =1-2=-1 textless 0

Справа, или больше (-5) выбираем х = 0.
y'(0) = 1- frac{1}{0+6} =1- frac{1}{6} = frac{5}{6} textgreater 0

Итак, мы видим, что производная (слева направо) меняет свой знак с минуса на плюс. Это означает, что найденный экстремум является минимум. Если было наоборот, то был бы максимум.

x_{min}=-5 \ \ y(-5)=x-ln(x+6)+3=-5-ln(-5+6)+3=-5-ln1+3=-2