Исследование функции 30 б

Исследование функций по схеме:
1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна.  Поэтому и вертикальных асимптот нет.
3. Точки пересечения функции с осями координат.
С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 0).
С осью Ох при у = 0. Надо решить уравнение x^(2/3) — x = 0.
x^(2/3) = x^1. Это возможно при х = 0  и х = 1.
Получаем 2 точки пересечения: х = 0, х = 1.
4. Четность, нечетность.
f(-х) =(-x)^(2/3) — (-x) = x^(2/3 + x = 0. ≠ f(x), ≠ -f(x).
Функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность: не периодическая.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Находим производную: y’ = (2/3)x^(-1/3) — 1 = (2 — 3∛x)/(3∛x).
Приравниваем её нулю (достаточно числитель): 2 — 3∛x = 0.
х = (2/3)³ = 8/27.
Имеем 1 критическую точку: х = 8/27.
Так производная функции в точке х = 0 не определена, то имеем 3 промежутка монотонности функции: (-∞; 0), (0; (8/27) и ((8/27); +∞).
Находим знаки производной на полученных промежутках.
х =      -1            0         1/4             8/27                  1
y’ = -1,6667-0,05827  0          -0,3333
Видим, что при прохождении через точку х = 8/27 производная меняет знак с + на -, то это максимум функции (локальный).
Промежуток возрастания (y’ > 0): (0; 8/27).
Убывания: (-∞; 0) ∪ (8/27; +∞).
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная равна y» = -2/ 9x∛x.
Это выражение не может быть равно 0, поэтому у функции нет точек перегиба.
8. Наклонные асимптоты: нет.
9. Построение графика.  Таблица точек:
xy

-2.03.59

-1.52.81

-1.02

-0.51.13

00

0.50.13

1.00

1.5-0.19

2.0-0.41

2.5-0.66

3.0-0.92

3.5-1.19

4.0-1.48