08
ОктябрьЗнайти загальні розв’язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь. а) y»+4y’-5y=0; б) 4y»+6y’+9y=0;…
Предмет: Математика
Уровень: студенческий
Знайти загальні розв’язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь.
а) y»+4y’-5y=0;
б) 4y»+6y’+9y=0;
в) y»-2y’+2y=0.
Ответ: yo=C1*e^(5*x)+C2*e^(2*x), yч=-1/3*e^(5*x)+7/3*e^(2*x).
Пошаговое объяснение:
Перед нами — однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: k²-7*k+10=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=5 и k2=2, поэтому общее решение уравнения yo имеет вид: yo=C1*e^(5*x)+C2*e^(2*x), где C1 и C2 — произвольные постоянные. Отсюда yo’=5*C1*e^(5*x)+2*C2*e^(2*x). Используя условия yo(0)=2 и yo'(0)=3, получаем систему уравнений:
С1+С2=2
5*C1+2*C2=3
Решая её, находим C1=-1/3, C2=7/3. Отсюда искомое частное решение yч=-1/3*e^(5*x)+7/3*e^(2*x).