Ряды

Исследовать ряд на сходимость

Решение
Необходимый признак сходимости ряда

В нашем ряде член ряда равен

Необходимый признак сходимости ряда выполнен.
Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера.
Ряд сходится если

Член ряда равен

Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера

Следовательно ряд сходиться.

Определить область сходимости степенного ряда

Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда

достаточно, чтобы

Так как

то ряд будет абсолютно сходиться при значениях х, удовлетворяющих неравенству
                                       3|x — 2| < 1
                                         |x — 2| < 1/3
                                 -1/3 < x — 2 < 1/3
                                 -1/3 + 2 < х < 1/3 + 2
                                        5/3 < x < 7/3
Cледовательно, при 5/3 < x < 7/3  исследуемый степенной ряд будет абсолютно сходиться.
Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть при x = 5/3 и x = 7/3.
При  x = 5/3 получаем числовой ряд

Частичные суммыSn этого ряда равны −1при нечетных n и 0 при четных n. Последователь-ность −1, 0,−1, 0, −1, 0 ,.частичных сумм не сходится, следовательно ряд расходится.
Граница интервала  х =5/3 не принадлежит области сходимости, так как ряд расходиться.

При  x = 7/3 получаем числовой ряд

Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно знакоположительный ряд расходиться.
Граница интервала  х =7/3 не принадлежит области сходимости, так как ряд расходиться.
Итак, областью сходимости степенного ряда  является интервал
х∈(5/3;7/3)

Ответ: (5/3;7/3)