У рівнобедреному прямокутному трикутнику, площа якого 32 см², через середину гіпотенузи провели відрізки,…

Ответ:
Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².
Объяснение:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, площадь которого 32 см², через середину гипотенузы провели отрезки, параллельные катетам. Докажите, что образованный четырехугольник — квадрат и найдите его площадь.​

Дано: ΔАВС — равнобедренный прямоугольный треугольник.
ВК = КС;
КЕ || АВ; КН || АС.
S(ABC) = 32 см².
Доказать: АНКЕ — квадрат,
Найти: S(АНКЕ).
Доказательство:
1. КЕ || АВ; КН || АС;
АВ ⊥ АС;
Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.⇒ КЕ ⊥ АС; КН ⊥ АВ.
Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.⇒ АНКЕ — прямоугольник.

2. Рассмотрим АВС — равнобедренный, прямоугольный.
⇒ АВ = АС
ВК = КС (условие)
КЕ || АВ (условие)
Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.⇒ КЕ — средняя линия.
КН || АС
⇒ КН — средняя линия.
Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.⇒ [displaystyle KE = frac{1}{2}AB;;;;;;KH=frac{1}{2}AC}]
Так как АВ = АС, то КЕ = КН.
Противоположные стороны прямоугольника равны.⇒ КЕ = КН = АН = АЕ.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.⇒ АНКЕ — квадрат.

Решение:
3. Найдем катеты ΔАВС.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.Пусть АВ = АС = а см
[displaystyle S(ABC)=frac{1}{2}a^2\\32=frac{1}{2}a^2\ \a^2=64\\a=8;_{(CM)}]
⇒ КЕ = КН = АН = АЕ = 8 : 2 = 4 (см)

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.S (АНКЕ) = 4² = 16 (см²)

Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².