Блог для маленьких школьников и их родителей

Рубрики блога

Вопросы и ответы Математика 5 - 9 класс

30

Октябрь

Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольшую биссектрису угла при…

Автор: shnarbaltabai18

Предмет: Математика

Уровень: 5 - 9 класс

Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольшую биссектрису угла при вершине имеет равнобедренный треугольник.

Ответов к вопросу: 1

dzhodzhuaieva

Ответить

30.10.2024 | 19:52

Ответ:

Пошаговое объяснение:
Пусть дан равнобедренный Δ ABC (AB=AC), опишем около него окружность, с центром в точке O, лежащей на его биссектрисе AM ,соответственно. Пусть биссектриса AM(она же высота ∠AMC=90°), пересекает дугу BC в точке L,деля ее на две равные дуги BL=LC.
Предположим, что существует точка A» не лежащая на данной окружности,такая что ∠BA»C =∠BAC (рассматриваем пример когда точка вне круга)
Тогда ΔA»BC пересекает окружность в точках 1 и 2. Возьмем на дуге 12 Произвольную точку A’ ,тогда у ΔA’BC ∠A’=∠A ,как углы вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу. ( точка A’ лежит внутри ΔA»BC)
Очевидно что:
∠A’=360°-( 180°-(∠A’A»B+∠A’BA») +180°-(∠A’A»C +∠A’CA») )=
= (∠A’A»B+∠A’A»C) +∠A’BA» +∠A’CA»=∠A» +∠A’BA» +∠A’CA»
Откуда: A=A’>A» ,то есть мы пришли к противоречию, не существует такой точки A». Аналогично доказывается невозможность того , что A» находится внутри окружности, только в этом случае ,,опоясываем» точку A» треугольником A’BC ,то есть берем на стороне BC произвольную точку и проводим через эту точку и точку A» прямую,которая пересечет окружность в точке A’,то есть эта прямая лежит внутри ΔA’BC, а на этой прямой точка A»,то есть A» внутри ΔA’BC.
Таким образом геометрическое место точек A’, таких что BA’=A это верхняя дуга BC.
P.S мы не рассматриваем точки что ниже стороны BC,тк для них можно провести симметричный относительно BC равнобедренный треугольник и провести те же рассуждения.
Докажем теперь, что для произвольной точки A’ отличной от A (A’ как доказано должно лежать на окружности)
биссектриса A’N<AM (биссектрисы равнобедренного треугольника)
Заметим, что прямая A’N пересекает окружность в точке L,той же что и AM ,тк биссектриса любого угла делит дугу на которую он опирается пополам.
Рассмотрим ΔOA’L. OA’=OL=R -радиус окружности,откуда из неравенства треугольника:
OA’+OL>A’L OA’+OL=2R=AL
Вывод: AL>A’L
Так же очевидно ,что гипотенуза LN прямоугольного ΔLMN длиннее его катета LM:
LN>LM
AM=AL-LM
A’N=A’L-NL
AL-A’L>0
NL-LM>0
Cложим эти неравенства :
(AL-LM) -(A’L-NL)>0
AM-A’N>0
AM>A’N.
Таким образом из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольшую биссектрису угла при вершине имеет равнобедренный треугольник.
ЧТД.

Ответить на вопрос:

Вам так же может быть интересно:

Мастерим из бумаги и картона голубых китов

Читать запись полностью

И вновь по Фрейду! Комплекс Электры у девочек

Читать запись полностью

Собираетесь в дорогу? Не забудьте настольные игры!

Читать запись полностью