Июнь

Куб, ребро которого равно р см, где р – натуральное число, сначала покрасили, а затем разрезали на единичные кубики…

Автор: nika19852

Предмет: Алгебра

Уровень: студенческий

Куб, ребро которого равно р см, где р – натуральное число, сначала покрасили, а затем разрезали на единичные кубики. Может ли количество кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань, равняться количеству кубиков, у которых нет ни одной окрашенной грани?

Ответов к вопросу: 1

ckathatu

Ответить

29.06.2024 | 14:22

Ответ:
Не может
Объяснение:
Всего единичных кубиков: p^3.
Из них кубиков, у которых не окрашено ни одной грани: (p-2)^3.
Это куб с ребром (p-2), который находится целиком внутри большого.
Посчитаем окрашенные кубики:
1) На вершинах 8 кубиков, у которых окрашено 3 грани.
2) На 12 ребрах 12(p-2) кубиков, у которых окрашено 2 грани.
3) На 6 гранях куба 6(p-2)^2 кубиков, у которых окрашена 1 грань.
И это количество должно быть равно неокрашенным кубикам.
(p-2)^3 = 6(p-2)^2 + 12(p-2) + 8
(p-2)^3 — 6(p-2)^2 — 12(p-2) — 8 = 0
Замена p-2 = t
t^3 — 6t^2 — 12t — 8 = 0
Так как t должно быть натуральным, то оно является делителем 8.
Пробуем 2, 4 и 8:
2^3 — 6*2^2 — 12*2 — 8 = 8 — 6*4 — 24 — 8 = -48
4^3 — 6*4^2 — 12*4 — 8 = 64 — 6*16 — 48 — 8 = -88
8^3 — 6*8^2 — 12*8 — 8 = 512 — 6*64 — 96 — 8 = 512 — 384 — 104 = 24
Ни одно из целых значений не подходит, значит, так сделать нельзя.
Попробуем на всякий случай 7:
7^3 — 6*7^2 — 12*7 — 8 = 343 — 6*49 — 84 — 8 = 343 — 294 — 92 = -43
t ∈ (7, 8), и оно иррациональное.