Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Прямое утверждение. Пусть в треугольнике ABC угол C = 90°, угол A = 30°, и точка D симметрична вершине B относительно прямой AC. Тогда AD = AB, угол BAD = 30° + 30° = 60°, значит треугольник ABD равнобедренный с углом 60° при вершине, то есть равносторонний, и BD = AB. Но BD = BC + CD = 2BC, поэтому BC = AB/2 — катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Обратное утверждение: если катет равен половине гипотенузы, то лежащий против него угол равен 30°. При том же построении BD = 2BC = AB = AD, треугольник ABD равносторонний, значит угол BAD = 60°, а угол BAC равен его половине, то есть 30°.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30•.