Июнь

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.Требуется: 1) записать векторы в системе орт и вычислить модули этих векторов; 2)…

Автор: Vnxfgvc

Предмет: Математика

Уровень: 5 - 9 класс

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.Требуется:
1) записать векторы в системе орт и вычислить модули этих векторов; 2) определить угол между векторами и ; 3) определить проекцию вектора на вектор ; 4) вычислить площадь грани ABC; 5) вычислить объем пирамиды ABCD. A(3;1;1), B(7;5;-1), C(5;12;-9), D(3;3;2).

Ответов к вопросу: 1

mksmgro

Ответить

04.06.2024 | 21:11

Ответ:
1) Координаты векторов находим по формуле:

X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;

Например, для вектора АВ

X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1

X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4

АВ(4;4;-10), АС(2;11;-18), АД(0;2;-7).

2) Угол а между векторами АВ и АС равен.

Модули: АВ =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.

АС = √(4 + 121 + 324) = √449

cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.

а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.

3) Проекция вектора АД на вектор АВ.

Решение: Пр ba = (a · b)/|b|.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78

Модуль вектора b = АВ определён и равен √132 = 2√33.

Пр ba = 78/(2√33) = 13√33 / 11 ≈ 6.78903.

4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Векторное произведение:

ijk

44-10

211-18

= i(4(-18)-11(-10)) — j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.

S = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) = √5444 ≈ 36,89173.

5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (38; 52; 36), АД(0;2;-7) — определено выше.

(АВ х АС) х АД = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148

S = (1/6)*148 = 24,6667.