2. Сторона ромба дорівнює 10см, а його діагоналі відносяться як 6:8. Знайдіть довжину його діагоналей.​

Ответ:
Один з можливих способів розв’язання:

Позначимо діагоналі ромба як d1 та d2, тоді відомо, що:

d1:d2 = 6:8 = 3:4 (скоротимо обидві частини на 2)

Також відомо, що діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться пополам кожний кут ромба.

Позначимо половини діагоналей як a та b, тоді:

a^2 + b^2 = (1/2 d1)^2
a^2 + b^2 = (1/2 d2)^2

Так як ромб має всі сторони рівні, то a = b

Підставимо d1 = 3a та d2 = 4a в формули для діагоналей:

a^2 + b^2 = (1/2 (3a))^2 = 9/4 a^2
a^2 + b^2 = (1/2 (4a))^2 = 16/4 a^2

Зіставляючи обидві формули, маємо:

9/4 a^2 = 16/4 a^2
a^2 = (4/3) b^2

З формули для площі ромба, S = 1/2 d1 d2, можна знайти b, тому що S і d1 відомі:

S = 1/2 d1 d2 = 1/2 (3a) (4a) = 6a^2

b = √(S/2) = √(6a^2/2) = √(3a^2) = √3a

Підставимо це значення b у формулу a^2 + b^2 = 9/4 a^2 і розв’яжемо рівняння відносно a:

a^2 + 3a^2 = 9/4 a^2
4a^2 = 9a^2/4
a^2 = 16
a = 4

Тоді d1 = 3a = 12, а d2 = 4a = 16.

Відповідь: довжина діагоналі d1 дорівнює 12 см, а діагоналі d2 дорівнює 16 см.
Пошаговое объяснение: