Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(4; –3; 3), В(6; 1; –1), С(2; –1; –5), D(0; –5; –1).

Пошаговое объяснение:
Вектор АВ=(6-4;1-(-3);-1-3)=(2;4;-4)
Вектор DC=(2-0;-1-(-5);-5-(-1)=(2;4;-4)

Длина АВ=корень(2²+4²+(-4)²)=6
Длина СD=корень(2²+4²+(-4)²)=6
АВ=СD=6

Вектор ВС=(2-6;(-1)-1;-5-(-1))=(-4;-2;-4)
Вектор AD=(0-4;-5-(-3);-1-3)=(-4;-2;-4)

Длина ВС=корень((-4)²+(-2)²+(-4)²)=6
Длина AD=корень((-4)²+(-2)²+(-4)²)=6

Вектор АС=(2-4;-1-(-3);-5-3)=(-2;2;-8)
Длина АС=корень ((-2)²+2²+(-8)²)=
=корень 72
Рассмотрим тр-к АВС:
Если <В=90 градусов, то по теореме Пифагора :
АС²=АВ²+ВС²
(корень72) ²=6²+6²
72=36+36
72=72 — верно
Условие выполняется, значит <В=90 градусов
Четырехугольник, у которого все стороны равны и углы равны 90 градусов является квадратом, значит квадрат АВСD является прямоугольником

Ответ:

Пошаговое объяснение:
→AB={6-4; 1-(-3); -1-3}={2; 4; -4}
→DC={2-0; -1-(-5); -5-(-1)}={2; 4; -4}
→AB=→DC⇒AB||DC, AB=DC⇒ABCD-параллелограмм
→BС={2-6; -1-1; -5-(-1)}={-4; -2; -4}
→AB×→BС=2×(-4)+4×(-2)+(-4)×(-4)=-8-8+16=0⇒→AB⊥→BC⇒AB⊥BC
AB⊥BC, ABCD-параллелограмм⇒ABCD-прямоугольник