В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3 : 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус…

Автор: karinalove34

Предмет: Геометрия

Уровень: 10 - 11 класс

В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3 : 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 11.

Ответов к вопросу: 1

Facebook2020

Ответить

15.06.2024 | 18:18

Если продлить боковые стороны до пересечения, то получится прямоугольный треугольник.
Если есть прямоугольная система координат XOY (внимание — буквой O обозначено начало кооринат, а не центр окружности! в применении к задаче — это точка пересечения AB и CD) и окружность, касающаяся оси OY и пресекающая ось OX в 2 точках, то её уравнение в самом общем виде (x — R)^2 + (y — a)^2 = R^2; точка (R, a) — центр.
=> x^2 — 2xR + (y-a)^2 = 0; при y = 0; x^2 — 2xR + a^2 = 0;
корни R — √(R^2 — a^2) и R + √(R^2 — a^2); пусть эти точки совпадают с точками A и B в условии, тогда при AB = 11
2√(R^2 — a^2) = 11;
Еще неиспользованное условие — AD/DC = 3/2; из того, что треугольники OBC и OAD подобны (я напоминаю, что буквой O я обозначил начало координат, а не центр окружности), ясно, что OA/OB = 3/2; или
(R + √(R^2 — a^2))/(R — √(R^2 — a^2)) = 3/2;
ну вот, по смыслу задача решилась, и ответ гораздо ближе, чем кажется :) потому что
простая подстановка дает
(R + 11/2)/(R — 11/2) = 3/2; => R = 55/2;