Октябрь

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна 8 дм. угол A равн 30…

Автор: ArinaDanch24

Предмет: Геометрия

Уровень: студенческий

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна 8 дм. угол A равн 30 градусам. Длина катета BC, расположенного напротив него, составит

Ответов к вопросу: 1

skrunnukvitalin9571

Ответить

28.10.2024 | 19:47

Ответ:

Решение:

Пусть средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна $x$. Тогда, согласно теореме Пифагора,

«`
AC^2 = x^2 + BC^2
«`

«`
BC^2 = AC^2 — x^2
«`

Также, известно, что $AC = ABsin A = ABsin 30^circ = frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:

«`
BC^2 = left(frac{AB}{2}right)^2 — x^2
«`

«`
BC^2 = frac{AB^2}{4} — x^2
«`

Также известно, что $AB = BCsqrt{3}$, поэтому

«`
BC^2 = frac{BC^2cdot 3}{4} — x^2
«`

«`
3BC^2 = BC^2 — 4x^2
«`

«`
4x^2 = 2BC^2
«`

«`
x^2 = frac{1}{2}BC^2
«`

«`
x = sqrt{frac{1}{2}BC^2}
«`

«`
x = frac{BC}{sqrt{2}}
«`

Так как $x = 8$, то

«`
BC = 8sqrt{2}
«`

Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна $8sqrt{2}$ дм**.

Альтернативное решение:

Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда, согласно теореме Пифагора,

«`
AM^2 = CM^2 + BM^2
«`

«`
8^2 = CM^2 + BM^2
«`

Также, известно, что $AM = frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:

«`
64 = CM^2 + BM^2
«`

Так как $CM + BM = BC$, то $CM^2 + BM^2 = BC^2$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:

«`
BC^2 = 64
«`

«`
BC = 8sqrt{2}
«`

Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна 8√2дм