N 6 Квадрат ABCD і трапецiя КМNL не лежать в одній площині. Точки А ID-середини вiдрiзкiв КМ i NL вiдповiдно. Доведіть…

Для доведення того, що
�
�
KL паралельно
�
�
BC, можна використовувати теорему про трикутники та властивості променів, паралельних бічним сторонам трапеції.

Оскільки
�
A та
�
D — середини відповідних сторін трапеції
�
�
�
�
KMLN, то відрізки
�
�
AM і
�
�
DN рівні половині відповідних бічних сторін трапеції.

Отже,
�
�
=
�
�
=
�
�
2
AM=DN=
2
MN
​
.

Розглянемо трикутники
�
�
�
AKM і
�
�
�
DKN. Вони мають спільні сторони
�
�
AK і
�
�
DN, а також рівні бічні сторони
�
�
AM і
�
�
DN.

Згідно з теоремою про трикутники, які мають рівні бічні сторони, та сторони, розташовані між ними, паралельні, отримуємо, що
�
�
KL паралельно
�
�
BC.

Щодо знаходження
�
�
BC, використаємо подібність трикутників. Трикутник
�
�
�
ABC подібний трикутнику
�
�
�
KMN, оскільки
∠
�
�
�
=
∠
�
�
�
∠ABC=∠KMN (паралельність прямих
�
�
BC та
�
�
KL),
∠
�
�
�
=
∠
�
�
�
∠BAC=∠KAM, і
∠
�
�
�
=
∠
�
�
�
∠ACB=∠KAN.

Знаємо, що відношення сторін подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін. Тобто:

�
�
�
�
=
�
�
�
�
.
MN
BC
​
=
AK
AB
​
.

Підставимо відомі значення:
�
�
=
6
см
MN=6 см,
�
�
=
�
�
2
=
�
�
4
=
6
4
=
1.5
см
AK=
2
AM
​
=
4
MN
​
=
4
6
​
=1.5 см,
�
�
=
�
�
+
�
�
=
10
+
6
=
16
см
AB=BC+CA=10+6=16 см.

�
�
6
=
16
1.5
.
6
BC
​
=
1.5
16
​
.

Знайдемо
�
�
BC:

�
�
=
6
×
16
1.5
=
64
см
.
BC=
1.5
6×16
​
=64 см.

Отже,
�
�
=
64
см
BC=64 см.