Радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, дорівнює √3 см, а гострий кут трапеції - 60°. Знайдіть площу трапеції

Позначимо за AB і CD основи рівнобічної трапеції ABCD, а за H точку дотику вписаного кола зі стороною AB.

Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то її бічні сторони BC і AD мають однакову довжину, позначимо її за a. Також за основу трапеції AB оберемо довшу з основ, тобто AB = a + 2r, де r — радіус вписаного кола.

Оскільки трикутник ABH рівнобедрений і має кут при вершині 60 градусів, то його можна поділити на два рівні трикутники, використовуючи серединний перпендикуляр, проведений до сторони AB. Отже, BH = AH = r, а довша сторона трапеції може бути виражена через радіус вписаного кола і основу трапеції наступним чином:

AB = a + 2r = a + 2√3

Розглянемо трикутник AHB. Застосуємо теорему Піфагора до нього:

AH^2 + HB^2 = AB^2
r^2 + r^2 = (a + 2√3)^2

Спростивши отримане рівняння, маємо:

2r^2 = a^2 + 4√3a + 12

Далі застосуємо формулу для площі трапеції:

S = (a + b)h/2

де a і b — довша і коротша основи трапеції, а h — її висота.

Знайдемо висоту трапеції, використовуючи відстань від вершини H до сторони CD. Оскільки трикутник HCD прямокутний і має кут 60 градусів, то його можна поділити на два рівні трикутники, використовуючи серединний перпендикуляр до сторони CD. Отже, HD = CD/2 = a/2.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника HCD:

HD^2 + HC^2 = CD^2
(a/2)^2 + h^2 = (a + 2√3)^2

Спростивши отримане рівняння, маємо:

h^2 = 4(3√3 — 1)r^2 / (a + 2√3)^2

Оскільки r = √3, то підставимо це значення та значення a = 2r / sin(60°) = 4√3 / 3 у формулу для h:

h^2 = 4(3√3 — 1)(√3)^2 / (4√3/3 + 2√3)^2 = 27/4

Отже, h = √27/2 = 3√3/2.

Тепер можна знайти площу трапеції:

S = (a + b)h/2 = (a + a + 2r)h/2 = (2a + 2r)h/2 = (2(a + r))h/2 = (2(2√3 + √3))/2 * 3√3/2 = 9.

Отже, площа рівнобічної трапеції ABCD дорівнює 9 квадратних одиниць.